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⊞ Álgebra Linear

Problemas de
Álgebra Linear

40 problemas selecionados de IMC, OBMU, CELL, OIMU, SEEMOUS, Putnam e mais — cobrindo matrizes, determinantes, autovalores e estrutura matricial. Todos com solução completa.

Teoria essencial

TEOREMA DE CAYLEY–HAMILTON

Toda matriz quadrada satisfaz seu próprio polinômio característico. Isto é, se , então:

Em particular, para : .

CRITÉRIO DE EISENSTEIN

Seja . Se existe primo tal que:

• para todo ,

• , e

• ,

então é irredutível sobre .

COEFICIENTES DO POLINÔMIO CARACTERÍSTICO

Para , o polinômio característico tem:

• (menos o traço),

• ,

• é a soma dos determinantes de todos os menores principais de .

TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS

Se (irredutível) é raiz de , então e .

Caso especial (): toda raiz racional de um polinômio mônico com coeficientes inteiros é inteira.

MATRIZ COMPANHEIRA

Para o polinômio , a matriz companheira tem como polinômio minimal:

📌 INTEIROS DE GAUSS E EISENSTEIN

Inteiro de Gauss: com . Norma: .

Inteiro de Eisenstein: com e (). Norma: .

40 Problemas — clique para ver a solução

01.

Considere a matriz . Sejam e as entradas na primeira coluna de . Encontre .

+
02.
OBMU 2005

Sejam e matrizes reais quadradas de mesma dimensão tais que para todo inteiro positivo . Prove que se é invertível então .

+
03.
IMC 2015

Para invertíveis satisfazendo , prove que . A mesma conclusão vale para matrizes complexas?

+
04.

Sejam com . Mostre que .

+
05.
IMC 2014

Determine todos os pares para os quais existe uma única matriz simétrica real com e .

+
06.
OMpD 2022

Seja primo e com e . Prove que .

+
07.
OMpD 2023

Considere . Qual a maior quantidade de elementos de mutuamente não semelhantes?

(a) 2  (b) 673  (c) 674  (d) 675  (e) 2022

+
08.
IMC 2021

Seja . Suponha que para todo inteiro positivo exista simétrica com . Prove que .

+
09.
OMRN 2022

Sejam e não constante com e . Mostre que é invertível e que e comutam.

+
10.
OBMU 2016

Encontre todas as matrizes reais tais que:

+
11.
CELL 2022

Seja a matriz com , se e caso contrário. Calcule .

(a) 0  (b) 1  (c) −1  (d)  (e)

+
12.
CELL 2023

Seja . Se , então:

(a)  (b)  (c)  (d)

+
13.
OBMU 2001

Seja com e . Calcule .

+
14.
Putnam 2014

Seja a matriz com . Calcule .

+
15.
OIMU 2020

Seja a matriz tridiagonal com , se . Se para todo , prove que .

+
16.
CIIM 2012

Para cada inteiro positivo , seja a matriz com . Calcule .

+
17.
OBMU 2010

Seja com para algum inteiro positivo .

(a) Mostre que . (b) Se , é possível que ?

+
18.
MR 2024

Seja e . (a) Prove que tem solução em . (b) Prove que tem solução em se e somente se é par. (c) Em cada caso há infinitas soluções.

+
19.
OBMU 2019

Existe matriz com (a) ?  (b) ?

+
20.
OIMU 2000

Sejam e com todas as entradas positivas. Se , prove que .

+
21.
OBMU 2020

(a) Toda matriz real pode ser escrita como soma de quadrados de duas matrizes reais ?

(b) Mesma pergunta para matrizes .

+
22.
CELL 2025

Se com e , encontre o valor máximo de .

(a)  (b)  (c)  (d)

+
23.
CIIM 2018

Demonstre que existe uma matriz de ordem 6, com entradas racionais, cuja soma de todas as entradas é 2018.

+
24.
OIMU 2008 / SEEMOUS 2009

(a) Existem com ?  (b) E com ?

+
25.
OBMU 2021

Considere com . Mostre que: (a) há infinitas tais matrizes com ; (b) há finitas com .

+
26.
IMC 2024

Sejam invertíveis com e . Encontre todos os valores possíveis de .

+
27.
OBMU 2024

Seja com . Se a sequência é limitada, mostre que ou .

+
28.
SEEMOUS 2013

Seja com para algum . Prove que ou .

+
29.
OIMU 2010

Sejam comutantes com . Se , prove que .

+
30.
VJIMC 2012

Determine todas as matrizes cujas entradas são primos positivos, existe com e é o quadrado de um primo.

+
31.
SEEMOUS 2021

Seja com . Se e , prove que .

+
32.
VJIMC 2009

Seja com para inteiros positivos com ímpar e . Prove que .

+
33.
OBMU 2015

Seja ortogonal e de permutação. Prove que (triangulares superiores) (triangulares inferiores).

+
34.
OBMU 2008

Prove que não existe matriz com entradas cujos autovalores (com multiplicidade) são .

+
35.
SEEMOUS 2012

Seja par positivo e simétrica com . Prove que .

+
36.
OBMU 2002

Seja simétrica real com e para todo . Prove que .

+
37.
SEEMOUS 2011

Seja com e para todo . Prove que tem pelo menos dois autovalores não reais.

+
38.
IMC 2014

Seja simétrica com autovalores . Mostre que e determine quando há igualdade.

+
39.
OBMU 2012

Considere matrizes com entradas , entradas e restantes . Qual o maior determinante possível?

+
40.
OBMU 2001

Seja com para algum . Prove que existe com igual a uma das matrizes .

+