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✦ Bizuário #002

Séries
Parte 1

Somas de Riemann, séries telescópicas e geométricas — as três ferramentas que resolvem a maioria dos limites e séries de olimpíadas universitárias. 34 problemas com solução completa.

Teoria

1.1 — SOMAS DE RIEMANN

Particionando em intervalos e escolhendo pontos , se é integrável em :

Muitas vezes podemos escolher e , obtendo a fórmula:

1.2 — SÉRIES TELESCÓPICAS

Dada a série , suponha . A soma parcial é e a série converge sse existe:

Outras formas telescópicas úteis:

1.3 — SÉRIES GEOMÉTRICAS

Através das séries geométricas podemos resolver problemas de Séries de Potência. Para :

Elas advêm das Progressões Geométricas e, derivando ou integrando, geram séries de potências mais elaboradas.

34 Problemas — clique para ver a solução

01.
Galois-Noether 2016

Qual é o valor de

(a) 1/4(b) 2/3(c) 3/2(d) 2
+
02.
Galois-Noether 2017

Qual é o valor de

(a) 1(b) 3√2 − 1(c) √log 2(d) 2√2 − 1
+
03.
OMRN 2021

O valor de

é:

(a) 1/2(b) 1(c) 2(d) 1/log_e 2(e) log_e 2
+
04.
MR 2024

Calcule

+
05.
SMT 2012

Encontre o par ordenado com não-infinito, tal que

seja válido.

+
06.

Calcule

+
07.
OBMU 2008

Seja . Calcule

+
08.
IMC 2024

Para , seja

onde log denota o logaritmo natural. Encontre .

+
09.
OMIME 2011

Calcule

+
10.
OBMU 2019

Calcule o resultado da seguinte soma:

(a) 1/3(b) 1/5(c) π²/6(d) ∞
+
11.
OMpD 2023

Seja o -ésimo número triangular. A série infinita

tem valor igual a , onde e são inteiros positivos primos entre si. Qual é o resto de por 5?

(a) 0(b) 1(c) 2(d) 3(e) 4
+
12.
ICMC2 2021

Calcule o valor de

+
13.
OMpD 2024

A sequência satisfaz , e, para todo , . Seja ainda:

Qual é o valor de ?

(a) 4046(b) 4044(c) 2023(d) 2022(e) 2021
+
14.
OIMU 2012

Determine se a seguinte série converge ou não e, caso convirja, calcule seu valor:

+
15.
Galois-Noether 2ª fase 2018

Prove que a seguinte série converge e determine seu valor:

+
16.
CELL 2022

Calcule o valor da soma

(a) 2023/2022!(b) −1 + 2023/2022!(c) 2022/2021!(d) 1 + 1/2023!(e) 2022/2023!
+
17.
ICMC1 2016

Calcule o valor de

+
18.
VTRMC 2014

Encontre o valor da série

+
19.
Putnam 2019

Para todo , seja

Determine .

+
20.
CELL 2020

Seja definida pela série . Quanto vale a integral

(a) 1/2(b) 1(c) π²/4(d) π²/6(e) π²/8
+
21.
Putnam 2016

Seja uma sequência tal que e para , . Mostre que a série infinita converge e encontre sua soma.

+
22.
OIMU 2010

Calcule a série

+
23.
MR 2018

Calcule

+
24.
OMRN 2019

Seja a sequência de Fibonacci (). Com relação à série

podemos afirmar que:

(a) converge para 1(b) converge para (1+√5)/2(c) converge para (1−√5)/2(d) converge para 1/√5(e) é divergente
+
25.
IMC 2015

Considere a sequência , e para . A soma da série é um número racional?

+
26.
Galois-Noether 2016

Encontre o valor da série

(a) 1/8(b) 3/8(c) 1/2(d) 3/4
+
27.
Galois-Noether 2018

Qual é o valor da série

(a) 1/30(b) 1/145(c) 84/29(d) 29/30
+
28.
CELL 2020

Encontre o valor de

(a) 1(b) √3/2(c) ln2/2(d) ln3/2(e) ln3/2 − √3π/18
+
29.
OBMU 2004

Calcule

+
30.
IMC 2010

Calcule a soma da série

+
31.
CELL 2024

Para cada inteiro positivo , seja o -ésimo número harmônico. A soma da série é:

(a) 9/4(b) 4/9(c) 3/4(d) 4/3(e) 1/4
+
32.

Calcule

onde denota o -ésimo número harmônico.

+
33.
OMERJ 2018

Calcule

onde é o resto da divisão euclidiana de por .

+
34.
SEEMOUS 2014

Considere a sequência definida por e

Prove que a sequência é convergente e encontre o seu limite.

+