Teorema de
Stolz–Cesàro
O "L'Hôpital das sequências" — permite calcular limites de quocientes de sequências da mesma forma que L'Hôpital resolve indeterminações de funções. 18 problemas com solução completa.
Teoria
TEOREMA 1.1.1 — STOLZ–CESÀRO
Sejam e duas sequências de números reais. Supondo que é uma sequência estritamente monótona, ilimitada e que o limite
existe, então:
Importante frisar que só podemos utilizar Stolz–Cesàro quando o limite de fato existe como valor real ou diverge para ou . Se não verificarmos esta existência não é possível concluir a igualdade.
O teorema vale quando é estritamente crescente e diverge para , ou estritamente decrescente e diverge para . Mas também vale se e com estritamente decrescente — o famoso caso .
Corolários
COROLÁRIO 1.1.1 — MÉDIA DE CESÀRO
Dada qualquer sequência de números reais, suponha que existe (finito ou infinito), então:
COROLÁRIO 1.1.2 — MÉDIA GEOMÉTRICA
Dada qualquer sequência de números reais positivos, suponha que existe (finito ou infinito), então:
COROLÁRIO 1.1.3 — RAZÃO DE SEQUÊNCIAS
Dada qualquer sequência de números reais positivos, suponha que existe (finito ou infinito), então:
Exemplos de aplicação:
18 Problemas — clique para ver a solução